Grade 9 2000

Riješite jednadžbu $$\frac {1}{x} + \frac {2}{y} - \frac {3}{z} = 1$$ u skupu prirodnih brojeva.

Kružnica upisana u trokut $ABC$ dodiruje njegove stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ u točkama $A_{1}, B_{1}, C_{1}$. Izrazite kutove trokuta $A_{1}B_{1}C_{1}$ pomoću kutova trokuta $ABC$.

Neka je $m \geq 2$ prirodan broj. Koliko rješenja u skupu prirodnih brojeva ima jednadžba $$\left\lfloor \frac {x}{m} \right\rfloor = \left\lfloor \frac {x}{m - 1} \right\rfloor ?$$ ($\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

Na raspolaganju su kovanice od $1$, $2$, $5$, $10$, $20$, $50$ lipa i od $1$ kune. Dokažite da ako se iznos od $M$ lipa može isplatiti pomoću $N$ kovanica, onda se iznos od $N$ kuna može isplatiti pomoću $M$ kovanica.