Grade 9 2005

Odredite sve brojeve čiji je zapis u dekadskom sustavu oblika $\overline{13xy45z}$, gdje su $x$, $y$ i $z$ nepoznate znamenke, koji su djeljivi sa $792$.

Spojnice središta trokuta upisane kružnice i njegovih vrhova dijele ga na tri trokuta od kojih je jedan sličan polaznome. Odredite kutove polaznog trokuta.

Koju najveću vrijednost može poprimiti izraz $$\frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n},$$ ako su $k$, $m$, $n$ prirodni brojevi takvi da je $\dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} < 1$.

Duljine stranica trokuta su $a$, $b$ i $c$, a $R$ je duljina polumjera opisane mu kružnice. Odredite kutove trokuta ako vrijedi $R = \dfrac{a\sqrt{bc}}{b+c}$.