Grade 10 1993

Riješite u skupu $\mathbf{R}$ nejednadžbu $$\left| \frac{4^x - 2^{x+1} - 2}{2^x - 4} \right| < 1.$$

Odredite sve trojke prirodnih brojeva $x, y, z$ za koje vrijedi $$\frac{2}{x^2} + \frac{3}{y^2} + \frac{4}{z^2} = 1.$$

Dane su točke $A$ i $B$ u ravnini. Dokažite da je geometrijsko mjesto točaka $M$ takvih da je $|AM|^2 - |BM|^2 = k$ (gdje je $k$ dani broj), pravac okomit na pravac $AB$.

Oko kružnice su na bilo koji način opisani trokut i kvadrat. Dokažite da je duljina dijela opsega kvadrata unutar trokuta veća od dijela izvan njega.