Grade 10 1997

Neka je $ABCDEF$ pravilni šesterokut sa središtem $O$. Neka su $M$ i $N$ polovišta stranica $\overline{CD}$ i $\overline{DE}$, a $L$ točka presjeka pravaca $AM$ i $BN$. Dokažite:

(a) $P(ABL) = P(DMLN)$;

(b) $\measuredangle ALD = \measuredangle OLN = 60^\circ$;

(c) $\measuredangle OLD = 90^\circ$.

Dokažite da za pozitivne, realne i različite brojeve $a$, $b$ i $c$ vrijedi nejednakost $$a^ab^bc^c > a^bb^cc^a.$$

U decimalnom zapisu broja $2^{1997}$ ima $m$ znamenaka, a u zapisu broja $5^{1997}$ ima $n$ znamenaka. Kolika je suma $m + n$?

U ravnini je dano $1997$ točaka. Dokažite da među svim udaljenostima po dvije od tih točaka ima barem $32$ različite.