Grade 10 2011

Odredi sve parove $(m,n)$ prirodnih brojeva takve da $n$ dijeli $2m - 1$ i $m$ dijeli $2n - 1$.

Neka su $a$ i $b$ realni brojevi takvi da su sve nultočke polinoma

$$P(x) = x^3 + a x^2 + b x - 8$$

realne. Dokaži da vrijedi $a^2 \geqslant 2b + 12$.

Odredi sve vrijednosti parametra $a$ za koje sustav

$$2^{|x|} + |x| = x^2 + y + a$$

$$x^2 + y^2 = 1$$

ima točno jedno rješenje $(x,y) \in \mathbb{R}^2$.

U trokutu $ABC$ vrijedi $|AB| = |AC|$, a simetrala kuta $\measuredangle ABC$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $D$ tako da je $|BC| = |BD| + |AD|$. Odredi kutove tog trokuta.

U vreći se nalazilo $255$ kuglica označenih brojevima $1, 2, \ldots, 255$, a onda je svaki od $N$ učenika uzeo je iz vreće po jednu kuglicu. Pokazalo se da nijedan od izvučenih brojeva nije točno dvostruko veći od nekog drugog izvučenog broja. Odredi najveći mogući $N$.