Grade 10 2018

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ takvi da je $$S(a) = S(b) = S(a + b) = n,$$ pri čemu $S(a)$ označava zbroj znamenaka broja $a$.

Branko ispisuje niz kvadratnih polinoma s realnim koeficijentima. U svakom koraku, nakon prethodno napisanog polinoma $ax^2 + bx + c$, zapisuje polinom $cx^2 + bx + a$ ili polinom $a(x + d)^2 + b(x + d) + c$ za neki realni broj $d$.

Ako započne s polinomom $x^2 - 2x - 1$, može li Branko opisanim postupkom nakon određenog broja koraka dobiti polinom:

a) $2x^2 - 1$?

b) $2x^2 - x - 1$?

Dan je trapez $ABCD$. Simetrala kraka $\overline{BC}$ siječe krak $\overline{AD}$ u točki $M$, a simetrala kraka $\overline{AD}$ siječe krak $\overline{BC}$ u točki $N$.

Neka su $O_1$ i $O_2$ redom središta kružnica opisanih trokutima $ABN$ i $CDM$. Dokaži da pravac $O_1O_2$ prolazi polovištem dužine $\overline{MN}$.

Odredi sve parove prostih brojeva $(p, q)$ za koje je $p^{q-1} + q^{p-1}$ kvadrat prirodnog broja.

Dana je kvadratna ploča s $n \times n$ polja, gdje je $n$ neparan prirodni broj. Svaki od $2n(n+1)$ jediničnih bridova koji omeđuju polja te ploče je ili crvene ili plave boje. Poznato je da je najviše $n^2$ bridova crvene boje.

Dokaži da postoji polje te ploče čija su barem tri brida plave boje.