Grade 10 2021

Odredi sve parove $(x, y)$ realnih brojeva za koje vrijedi $$x + \frac{1}{y - x} = 1 \quad \text{i} \quad y + \frac{1}{x - y} = 2.$$

Neka je $(a, b, c)$ trojka prirodnih brojeva za koje vrijedi $a^2 + b^2 = c^2$.

Dokaži da broj $\left(\dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b}\right)^2$ nije prirodan te da je veći od 8.

Neka je $ABC$ trokut takav da je $|AB| < |BC|$ i $\measuredangle BAC = 45^{\circ}$. Tangente na kružnicu opisanu tom trokutu u točkama $B$ i $C$ sijeku se u točki $D$. Pravci $AC$ i $BD$ se sijeku u točki $E$ te vrijedi $|EA| = 3$ i $|AC| = 8$. Odredi površinu trokuta $CDE$.

Odredi sve trojke prirodnih brojeva $(a, b, c)$ za koje vrijedi $$2^a \cdot 5^b - 1 = 11 \cdot 3^c.$$

Teta u vrtiću nadgleda igru $n$ djece koja sjede raspoređena ukrug. Svako dijete ima određeni broj bombona. Igra se sastoji od niza ovakvih koraka:

Svakom djetetu koje ima neparan broj bombona teta daje po još jedan bombon te svako dijete podijeli svoje bombone na dvije jednake hrpe. Zatim, u istom trenutku, svako dijete daje polovinu svojih bombona djetetu koje sjedi neposredno desno od njega.

Dokaži da će nakon konačno mnogo koraka sva djeca imati jednak broj bombona.