Grade 11 1998

Dokažite da za svaki trokut sa stranicama $a$, $b$, $c$ i nasuprotnim kutovima $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ vrijedi jednakost $$\left(\frac{b}{c} + \frac{c}{b}\right)\cos\alpha + \left(\frac{c}{a} + \frac{a}{c}\right)\cos\beta + \left(\frac{a}{b} + \frac{b}{a}\right)\cos\gamma = 3.$$

U stožac je upisana polusfera čija kružna baza leži u bazi stošca. Omjer oplošja stošca (uključujući i bazu) i oplošja polusfere (bez kružne baze) je $k = \dfrac{18}{5}$. Odredite vršni kut stošca.

U trokutu $ABC$ su dane visine $\overline{AA_1}$, $\overline{BB_1}$, $\overline{CC_1}$, pri čemu je $$\overrightarrow{AA_1} + \overrightarrow{BB_1} + \overrightarrow{CC_1} = \vec{0}.$$ Dokažite da je trokut $ABC$ jednakostraničan.

Dokažite da među svakih $79$ uzastopnih prirodnih brojeva postoji barem jedan čija je suma znamenaka djeljiva sa $13$.

Nađite niz od $78$ uzastopnih prirodnih brojeva sa svojstvom da suma znamenaka niti jednog od njih nije djeljiva sa $13$.