Grade 11 2002

U trokutu $ABC$ kutovi $\alpha = \measuredangle BAC$ i $\beta = \measuredangle CBA$ su šiljasti. S vanjske strane trokuta nad stranicama $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$, kao bazama, konstruirani su jednakokračni trokuti $ACD$ i $BCE$ s vršnim kutovima $\measuredangle ADC = \beta$, odnosno $\measuredangle BEC = \alpha$. Neka je $O$ središte kružnice opisane trokutu $ABC$. Dokažite da je $|DO| + |EO|$ jednako opsegu trokuta $ABC$ ako i samo ako je $\measuredangle ACB$ pravi.

Dokažite da se prirodan broj može prikazati kao zbroj dva ili više uzastopnih prirodnih brojeva ako i samo ako taj broj nije potencija broja $2$.

Na dijagonalama $\overline{AB_1}$ i $\overline{CA_1}$ bočnih strana $ABB_1A_1$ i $CAA_1C_1$ trostrane prizme $ABCA_1B_1C_1$ dane su točke $E$ i $F$ takve da je $EF \parallel BC_1$. Nadite omjer duljina dužina $\overline{EF}$ i $\overline{BC_1}$.

Na otoku živi $n$ domorodaca. Svaka dva su ili prijatelji ili neprijatelji. Jednog dana poglavica naredi svim stanovnicima (uključujući i sebe) da si naprave i da nose kamene ogrlice, tako da svaka dva prijatelja imaju barem po jedan istovrsni kamen u svojim ogrlicama, a da se sva kamenja u ogrlicama dvaju neprijatelja razlikuju. (Ogrlica može biti i bez kamenja.) Dokažite da se poglavičina zapovijed može izvršiti koristeći $\left\lfloor \dfrac{n^2}{4} \right\rfloor$ različitih vrsta kamenja, i da se općenito ovo ne može postići s manje kamenja.