Grade 11 2005

Nađite sva rješenja $k$, $l$, $m \in \mathbb{N}$ jednadžbe: $$k! l! = k! + l! + m!.$$ ($n!$ označava umnožak prirodnih brojeva od $1$ do $n$.)

Upisana kružnica trokuta $ABC$ dodiruje stranice $\overline{AC}$, $\overline{BC}$ i $\overline{AB}$ redom u točkama $M$, $N$ i $R$. Neka je $S$ točka na manjem od dva luka $\widehat{MN}$ i $t$ tangenta na taj luk s diralištem $S$. Tangenta $t$ siječe $\overline{NC}$ i $\overline{MC}$ redom u točkama $P$ i $Q$. Dokažite da se pravci $AP$, $BQ$, $SR$ i $MN$ sijeku u jednoj točki.

Odredite skup svih točaka triedra takvih da je zbroj njihovih udaljenosti od strana triedra jednak zadanom pozitivnom broju $a$.

Pravilni poligon s $2005$ stranica ima vrhove obojane crvenom, bijelom i plavom bojom. "Dozvoljenim bojanjem" zovemo bojanje u kojem dva susjedna vrha, koja su obojana različitim bojama, obojimo trećom bojom.

a) Dokažite da postoji konačan niz "dozvoljenih bojanja" nakon kojeg su svi vrhovi poligona iste boje.

b) Je li ta boja jednoznačno određena početnim rasporedom boja vrhova?