Grade 11 2016

U konveksnom četverokutu $ABCD$ vrijedi $|AD| = |CD|$ i $\measuredangle ADC = 90°$. Ako je $|AB| = a$, $|BC| = b$, $|BD| = d$, $\measuredangle ABC = \beta$, dokaži da vrijedi $$2d^2 = a^2 + b^2 + 2ab \sin \beta.$$

Dokaži da ne postoji prirodni broj $k$ takav da su $$k + 4 \quad \text{i} \quad k^2 + 5k + 2$$ kubovi nekih prirodnih brojeva.

Neka su $x$, $y$ i $z$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $xyz = 1$. Dokaži nejednakost $$\frac{x^6 + 2}{x^3} + \frac{y^6 + 2}{y^3} + \frac{z^6 + 2}{z^3} \geqslant 3 \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \right).$$

Neka je $H$ ortocentar šiljastokutnog trokuta $ABC$. Kružnica opisana trokutu $ABH$ ima središte $S$ i siječe dužinu $\overline{BC}$ u točkama $B$ i $D$. Neka je $P$ presjek pravca $DH$ i dužine $\overline{AC}$, te neka je $Q$ središte opisane kružnice trokuta $ADP$. Dokaži da je četverokut $BDQS$ tetivan.

Dana je ploča s 2016 redaka i 2017 stupaca. Je li moguće ukloniti dva polja u zadnjem stupcu te ploče tako da dobivenu ploču možemo prekriti bez preklapanja pločicama oblika kao na slici? Pločice je dozvoljeno rotirati.