Grade 12 2002

Izračunajte beskonačni zbroj $s = 1 + 4x + 9x^2 + \ldots + n^2 x^{n-1} + \ldots$, gdje je $|x| < 1$.

Vrhovi kocke u prostornom koordinatnom sustavu s ishodištem $O$ su u točkama $A(1,1,1)$, $A'(-1,-1,-1)$, $B(-1,1,1)$, $B'(1,-1,-1)$, $C(-1,-1,1)$, $C'(1,1,-1)$, $D(1,-1,1)$, $D'(-1,1,-1)$. Točka $O$ je središte kocki opisane sfere. Neka točka $T$ nije na toj sferi i $d = |OT|$. Označimo $s$ $\alpha = \measuredangle ATA'$, $\beta = \measuredangle BTB'$, $\gamma = \measuredangle CTC'$ i $\delta = \measuredangle DTD'$. Dokažite da je $$\mathrm{tg}^2 \alpha + \mathrm{tg}^2 \beta + \mathrm{tg}^2 \gamma + \mathrm{tg}^2 \delta = \frac{32d^2}{(d^2 - 3)^2}.$$

Neka je $f(x) = x^{2002} - x^{2001} + 1$. Dokazati da su za svaki prirodan broj $m$ brojevi $m$, $f(m)$, $f(f(m))$, $f(f(f(m)))$, ..., u parovima relativno prosti, tj. da nikoja dva među njima nemaju zajednički djelitelj veći od $1$.

Neka je $(a_n)$, $n \in \mathbb{N}$ rastući niz prirodnih brojeva. Za član $a_k$ tog niza kažemo da je dobar ako se može prikazati kao suma nekih drugih (ne nužno različitih) članova tog niza. Dokažite da su svi članovi tog niza, osim njih konačno mnogo, dobri.