Grade 12 2009

Neka je $\overline{CH}$ visina šiljastokutnog trokuta $ABC$, a točka $O$ središte njemu opisane kružnice. Ako je $T$ nožište okomice iz točke $C$ na pravac $AO$, dokaži da pravac $TH$ prolazi polovištem dužine $\overline{BC}$.

Dani su realni brojevi $x_0 > x_1 > x_2 > \cdots > x_n$. Dokaži da je $$x_0 - x_n + \frac{1}{x_0 - x_1} + \frac{1}{x_1 - x_2} + \cdots + \frac{1}{x_{n-1} - x_n} \geq 2n.$$

Kada vrijedi jednakost?

Odredi sve funkcije $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ takve da je $$f(x) = \max_{y \in \mathbb{R}} \left(2xy - f(y)\right)$$ za svaki $x \in \mathbb{R}$.

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$, $m,n > 1$, za koje je $n^3 - 1$ djeljivo s $mn - 1$.

Unutar kvadrata stranice duljine $38$ smješteno je $100$ konveksnih mnogokuta, pri čemu je površina svakog od njih najviše $\pi$, a opseg najviše $2\pi$. Dokaži da unutar tog kvadrata postoji krug polumjera $1$ koji ne siječe niti jedan od danih $100$ mnogokuta.