Grade 9 2020

Odredi zbroj svih znamenaka dekadskog zapisa broja $(10^{2020} + 2020)^2$.

Neka su $x$ i $y$ realni brojevi takvi da vrijedi $x + y = 1$ i $x^3 + y^3 = 13$. Koliko je $x^2 + y^2$?

Dino, Pino i Tino idu u isti vrtić. Za igru svaki dječak treba dvije kockice iste boje, ali nije nužno da kockice koje imaju različiti dječaci budu različite boje. Odgojiteljica u jednoj ladici ima crvene, plave i zelene kockice. Ako izvlači bez gledanja, koliko najmanje kockica treba izvući iz ladice da bi bila sigurna da će od tih kockica svaki dječak moći uzeti dvije istobojne kockice?

U posudi $A$ nalazi se četiri kilograma grickalica, od čega je $45\%$ kikiriki. U posudi $B$ nalazi se pet kilograma grickalica, od čega je $48\%$ kikiriki. U posudi $C$ se nalazi jedan kilogram grickalica. Iz te posude se određeni dio prebaci u posudu $A$, a ostatak u posudu $B$, i to tako da je udio kikirikija u oba dijela jednak i iznosi $k\%$. Nakon toga je i u posudi $A$ i u posudi $B$ točno $50\%$ kikirikija. Odredi $k$.

Neka je $ABCDE$ pravilni peterokut i neka je $F$ točka unutar njega takva da je trokut $ABF$ jednakostraničan. Odredi kutove trokuta $DEF$.

Na dvije nasuprotne strane kocke dimenzija $1 \times 1 \times 1$ nalazi se po jedna točka, na druge dvije nasuprotne strane po dvije točke, a na preostale dvije strane po tri točke. Od osam takvih identičnih kocki napravljena je kocka dimenzija $2 \times 2 \times 2$. Matija je izbrojio ukupan broj točaka na svakoj od strana te kocke i zaključio "dobili smo šest uzastopnih prirodnih brojeva". Je li Matija u pravu? Obrazloži odgovor.

Duljine kateta pravokutnog trokuta su $a$ i $b$, a duljina njegove hipotenuze je $c$. Ako su sve tri duljine prirodni brojevi, te $a$ k tome neparan prost broj, dokaži da je broj $2(a + b + 1)$ kvadrat nekog prirodnog broja.