Grade 9 2021

Put koji povezuje mjesto $A$ s mjestom $B$ u prvom je dijelu ravan, a ostatak je nizbrdica. Biciklist je iz mjesta $A$ u mjesto $B$ stigao za $1$ sat i $15$ minuta. Pri povratku mu je trebalo pola sata više. Na ravnome dijelu ceste vozio je brzinom za $4$ km/h većom od brzine na uzbrdici. Vozeći nizbrdo dvostruko je brži nego kad ide uzbrdo i za $50\%$ brži nego na ravnom dijelu ceste. Kolika je udaljenost mjesta $A$ i $B$?

Točke $A$, $B$, $C$, $D$ i $E$ povezane su dužinama kao na slici. Dužine $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ sijeku dužinu $\overline{DE}$ redom u točkama $F$ i $G$. Ako je $\measuredangle ABC = 20^{\circ}$ i ako je $\measuredangle DFA = \measuredangle CGE$, odredi $\measuredangle EAB + \measuredangle DEA$.

Svaki od trojice prijatelja popisao je svojih deset omiljenih računalnih igara. Na sva tri popisa zajedno našlo se $15$ različitih igara. Uspoređujući svoje popise uočili su da svaka dvojica imaju po $6$ istih igara na popisu. Koliko se igara nalazi na sva tri popisa?

Na ploči su napisani brojevi $1, 2, 3, \ldots, 2021$. Je li moguće brojeve brisati jednog po jednog sve dok na ploči ne ostane samo jedan broj, tako da nakon svakog brisanja zbroj svih preostalih brojeva bude složen broj?

Koliko ima četveroznamenkastih brojeva djeljivih s $3$ čiji dekadski zapis ne sadrži znamenke $2$, $4$, $6$ ni $9$?

U koordinatnom sustavu u ravnini dana su dva pravca koja se sijeku pod pravim kutom u točki $A(6, 8)$. Sjecišta $P$ i $Q$ tih pravaca s osi $y$ su simetrična u odnosu na ishodište. Odredi površinu trokuta $APQ$.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje su među brojevima $n$, $4^n + 1$ i $n^2 + 2$ barem dva prosta broja.