Grade 9 2022

Dokaži da je broj $6^{2022} - 2^{2022}$ djeljiv s $2^{2025}$.

Tea je umijesila tijesto od tri sastojka: brašna, vode i jaja. Masa brašna u tijestu prema masi vode odnosi se kao $7:2$, dok se masa vode prema masi jaja odnosi kao $5:2$. Ukupna masa tijesta je $1470$ grama. Odredi mase svakog od sastojaka.

Dva sukladna kvadrata sa stranicama duljine $1 + \sqrt{2}$ imaju isto središte, a njihov presjek je pravilni osmerokut. Kolika je površina tog osmerokuta?

Za realne brojeve $a$, $b$ i $c$ vrijedi $a + b + c = 0$ i $abc = 4$. Odredi vrijednost izraza $a^3 + b^3 + c^3$.

Na stolu se nalazi hrpa s $1001$ kamenčićem. U svakom koraku Matko odabire neku hrpu koja sadrži više od tri kamenčića, uklanja jedan kamenčić i podijeli ostatak kamenčića na dvije (ne nužno jednake) hrpe. Može li Matko nizom ovakvih koraka postići da u svakoj hrpi budu točno tri kamenčića?

U trokutu $ABC$ s težištem $T$ vrijedi $|AT| = |BC|$ i $\measuredangle BCT = 30°$. Odredi $|CT| : |AT|$.

Odredi sve parove $(m, n)$ prirodnih brojeva za koje je $m(m - 4n) = n - 4$.