Grade 10 2024

Odredi sve realne brojeve $k$ za koje se tjeme parabole s jednadžbom $$y = 4x^2 - 4(k + 1)x + k^2 + 4k - 1$$ nalazi na paraboli čija je jednadžba $y = 4x^2 - 2x - 8$.

Odredi sve uređene parove cijelih brojeva $(x, y)$ takve da je $$x^2 + y^2 = 10(x + y).$$

Za realne brojeve $a$ i $b$ jednadžba $x^2 + ax + b = 0$ ima dva cjelobrojna rješenja (ne nužno različita). Dokaži da jednadžba $x^2 + 5ax + (6a^2 + b) = 0$ također ima dva cjelobrojna rješenja.

Riješi nejednadžbu $$\frac{(1 + x)^2}{1 + y} \leqslant 1 + \frac{x^2}{y}.$$ Za koje parove $(x, y)$ se postiže jednakost?

Neka je $\overline{AB}$ promjer kružnice $k$, a točka $O$ njeno središte. Neka je $C$ točka izvan kružnice $k$ na simetrali dužine $\overline{AB}$. Dužina $\overline{AC}$ siječe kružnicu $k$ u točki $D$. Ako je $|AB| = 2$ i $|CD| = 1$, odredi $|OC|$.

Kažemo da je prirodni broj $n \geqslant 2$ tajanstven ako za svaki njegov djelitelj $d$ veći od $1$ vrijedi $d^2 + n \mid n^2 + d$. Odredi sve tajanstvene prirodne brojeve.

Na slici je prikazan skup od $16$ točaka raspoređenih na $10$ istaknutih pravaca. Za dvije točke tog skupa kažemo da su vezane ako pripadaju istom istaknutom pravcu.

a) Koliko je najviše točaka promatranog skupa moguće odabrati tako da među njima ne bude vezanih točaka?

b) Odredi broj podskupova promatranog skupa točaka bez vezanih točaka s najvećim mogućim brojem elemenata.