Grade 11 2020

Odredi najmanju i najveću vrijednost koju izraz $\sin^2 x \cos 2x$ postiže za $x \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Koliko ima četveroznamenkastih prirodnih brojeva u čijem su zapisu točno dvije različite znamenke od kojih se svaka pojavljuje dvaput?

Trapezu s krakovima duljina $4$ i $5$ može se upisati kružnica, a zbroj veličina kutova uz dulju osnovicu iznosi $120°$. Izračunaj površinu tog trapeza.

Odredi sva realna rješenja jednadžbe

$$\log_2 x \cdot \log_4 x + \log_4 x \cdot \log_8 x + \cdots + \log_{2^{2019}} x \cdot \log_{2^{2020}} x = \frac{2019}{2020}.$$

Za prirodni broj $n \geqslant 2$ neka je $D(n)$ najveći prirodni djelitelj broja $n$ različit od $n$. Na primjer, $D(12) = 6$ i $D(13) = 1$.

Odredi najveći prirodni broj $n$ takav da je $D(n) = 35$.

Posuda oblika uspravnog stošca sadrži određenu količinu vode. Kada je stožac postavljen osnovkom na ravnu površinu vrhom prema gore, razina vode je $8$ cm ispod vrha stošca. Ako stožac preokrenemo, razina vode je $2$ cm ispod osnovke stošca.

Kolika je visina posude?

Dani su prosti brojevi $p$, $q$, $r$ i $s$ takvi da je $5 < p < q < r < s < p + 10$.

Dokaži da je zbroj tih četiriju brojeva djeljiv sa $60$.