Grade 11 2022

Ako je $\cos x + \sin x = 0.3$, odredi $\cos^3 x + \sin^3 x$.

Odredi realne brojeve $a$ i $b$ tako da skup vrijednosti funkcije $f(x) = 2022^{-2(x-2a)(x+a)} + 1$ bude interval $\langle b, 2023]$.

Kvadrat $ABCD$ površine $36$ smješten je u koordinatnu ravninu tako da je stranica $\overline{AB}$ paralelna s $y$-osi, a točke $A$, $B$ i $C$ redom pripadaju grafovima funkcija $f(x) = 3\log_a x$, $g(x) = 2\log_a x$ i $h(x) = \log_a x$. Odredi broj $a$.

Za koliko je prirodnih brojeva $n$ vrijednost razlomka $$\frac{n + 2022}{n - 3}$$ cijeli broj?

Kocka $ABCDA'B'C'D'$ stranice duljine $1$ presječena je sferom. Središte sfere je točka $S$ na dužini $\overline{AD}$ takva da je $|AS| = \sqrt{3} - 1$. Sfera prolazi točkama $C$ i $D'$, te siječe bridove $\overline{AB}$ i $\overline{AA'}$.

Odredi površinu onog dijela oplošja kocke koji se nalazi unutar te sfere.

Neka su $a$, $b$ i $c$ redom duljine stranica trokuta nasuprot kutova veličina $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$. Ako vrijedi $9a^2 + 9b^2 = 19c^2$, odredi $\dfrac{\mathrm{ctg}\,\gamma}{\mathrm{ctg}\,\alpha + \mathrm{ctg}\,\beta}$.

Na koliko načina se u tablicu $3 \times 3$ mogu upisati brojevi od $1$ do $9$ tako da zbrojevi brojeva u svakom retku, u svakom stupcu i na svakoj dijagonali budu djeljivi s $3$?