Grade 11 2023

Odredi sve realne brojeve $a$ za koje jednadžba $$||2^x - 1| - 2| = a$$ ima točno dva realna rješenja.

Odredi najmanji prirodan broj koji se može prikazati u obliku $50a^4$ i u obliku $3b^3$ za neke prirodne brojeve $a$ i $b$.

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje postoji realan broj $y$ takav da je $$\frac{\sin(2x)}{\sin(2y)} = 4 \sin(x + y) \cos(x - y).$$

Koliko ima uređenih parova prirodnih brojeva $(a, b)$ za koje vrijedi $$\log_{2023 - 2(a + b)} b = \frac{1}{3 \log_b a}?$$

Dan je šiljastokutan trokut $ABC$ s ortocentrom $H$. Dokaži da vrijedi $$|AH|^2 + |BC|^2 = |BH|^2 + |CA|^2 = |CH|^2 + |AB|^2.$$

Na početku je zadan prirodan broj $n$. Jurica odabire dva prirodna broja $a$ i $b$ čiji je umnožak broj $n$, a zatim ponavlja postupak s brojem $a + b$ umjesto $n$.

Odredi, u ovisnosti o broju $n$, najmanji mogući prirodan broj koji Jurica može dobiti kao rezultat nakon konačno mnogo koraka.

Neka je $ABCD$ paralelogram takav da vrijedi $|AB| = 4$, $|AD| = 3$, te je mjera kuta pri vrhu $A$ jednaka $60°$. Kružnica $k_1$ dira stranice $\overline{AB}$ i $\overline{AD}$ dok kružnica $k_2$ dira stranice $\overline{CB}$ i $\overline{CD}$.

Kružnice $k_1$ i $k_2$ su sukladne i dodiruju se izvana. Odredi duljinu polumjera tih kružnica.