Grade 12 2025

Odredite zbroj koeficijenata uz sve neparne potencije od $x$ u razvoju zbroja binoma

$$\left(x + \sqrt{x^3 - 1}\right)^5 + \left(x - \sqrt{x^3 - 1}\right)^5,$$

gdje je $x > 1$.

Neka je $z$ kompleksan broj takav da vrijedi

$$z + z^{-1} = 1.$$

Odredite $z^{46} + z^{47} + z^{48} + z^{49} + z^{50}$.

Zadan je pravac s jednadžbom $y = \dfrac{5}{3}x + \dfrac{4}{5}$. Dokažite da je udaljenost svake točke s cjelobrojnim koordinatama do zadanog pravca veća od $\dfrac{1}{30}$.

Pronađite sve parove prirodnih brojeva $(x, y)$ za koje vrijedi

$$x^2 + y^2 = 2025.$$

Zadan je niz $(a_n)_{n\in \mathbb{N}_0}$ takav da je $a_0 = a$, $a_1 = b$, gdje su $a$, $b\in \mathbb{R}$, i

$$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}, \quad n \geq 2.$$

Odredite $a_n^2 - a_{n-1}a_{n+1}$.

Koliko ima tročlanih podskupova skupa $S = \{1,2,3,\ldots,50\}$ kojima je umnožak članova djeljiv s $4$?

Sinusi unutarnjih kutova nekog pravokutnog trokuta čine aritmetički niz. U kojem su omjeru duljine stranica tog trokuta?