Grade 9 2026

Ante i Matea treniraju plivanje. Na jednom od zajedničkih treninga istovremeno su krenuli sa suprotnih strana bazena. Do trenutka kad su se prvi puta istovremeno našli na istom rubu bazena, zajedno su preplivali devet duljina bazena. Od tada do sljedećeg trenutka kad su se ponovno našli istovremeno na istom rubu bazena zajedno su preplivali dodatnih $855$ metara. Ako oboje plivaju stalnim brzinama, kolika je duljina bazena u kojem treniraju?

Odredi sve uređene trojke cijelih brojeva $(a, b, c)$ za koje vrijedi $a^2 = bc + 1$ i $b^2 = ac + 1$.

Neka je $ABC$ trokut takav da je $|AC| > |BC|$. Neka je $M$ nožište okomice iz vrha $B$ na simetralu kuta $\measuredangle BCA$. Dokaži da je površina trokuta $AMC$ dvostruko manja od površine trokuta $ABC$.

Odredi sve uređene trojke $(x, y, z)$ realnih brojeva za koje vrijedi $$\frac{2x^2}{1 + x^2} = y, \quad \frac{2y^2}{1 + y^2} = z, \quad \frac{2z^2}{1 + z^2} = x.$$

Može li se ploča dimenzija $2027 \times 2027$ prekriti koristeći dvije vrste pločica:

• pločice dimenzija $1 \times 2$ koje prekrivaju po dva susjedna polja u istom retku i

• pločice dimenzija $3 \times 1$ koje prekrivaju po tri uzastopna polja u istom stupcu?

Pločice se ne smiju preklapati niti prelaziti preko ruba dane ploče.