Grade 10 2015

Odredi sve parove $(a, b)$ cijelih brojeva takve da površina trokuta čiji su vrhovi točke u kojima parabola $y = x^2 + ax + b$ siječe koordinatne osi iznosi $3$.

Odredi sve trojke $(a, b, c)$ realnih brojeva za koje vrijedi $$a^2 + b^2 + c^2 = 1 \quad \text{i} \quad (2b - 2a - c)a \geqslant \frac{1}{2}.$$

Odredi sve četvorke $(a, b, c, d)$ prirodnih brojeva takve da je $$a^3 = b^2, \quad c^5 = d^4 \quad \text{i} \quad a - c = 9.$$

Neka je $O$ središte opisane kružnice, a $H$ ortocentar trokuta $ABC$. Pravac $AO$ siječe opisanu kružnicu u točki $D$. Dokaži da pravac $HD$ prolazi polovištem stranice $\overline{BC}$.

Na matematičkom natjecanju zadana su $4$ teška i $8$ laganih zadataka. Na natjecanju sudjeluje $n$ učenika, a svaki je učenik ispravno riješio točno $11$ od $12$ zadataka.

Za svaki par teškog i laganog zadatka određen je broj učenika koji su ispravno riješili oba zadatka i zbroj svih tih $32$ brojeva je $256$. Odredi $n$.