Grade 10 2018

Neka je $z$ kompleksni broj za koji vrijedi

$$|z - 5| = |z - 1| + 4.$$

Dokaži da je $z$ realni broj.

Kvadrat $ABCD$ ima stranicu duljine 1. Neka je točka $X$ na stranici $\overline{AB}$, a točka $Y$ na stranici $\overline{AD}$ tako da je $\measuredangle CXY = 90°$. Odredi položaj točke $X$ za koji je površina trokuta $CDY$ najmanja moguća.

Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje kvadratna jednadžba

$$x^2 - 3nx + n + 3 = 0$$

ima cjelobrojna rješenja.

Dane su dvije kružnice koja se ne sijeku, polumjera $r_1$ i $r_2$. Udaljenost dirališta zajedničke unutarnje tangente na te kružnice iznosi $12$, a udaljenost dirališta zajedničke vanjske tangente na te kružnice iznosi $16$. Odredi umnožak $r_1r_2$.

Unutarnja tangenta (je ona zajednička tangenta koja) siječe dužinu koja spaja središta kružnica.

Neka je $n \geqslant 4$ prirodni broj. Dokaži da među bilo kojih $n$ brojeva iz skupa

$$\{1, 2, \ldots, 2n - 1\}$$

postoji nekoliko brojeva čiji je zbroj djeljiv s $2n$.