Grade 10 2022

Odredi sve realne brojeve $x$ za koje vrijedi $$\sqrt{|x - 1| + |x + 4|} = |x|.$$

Neka su $a, b \in \mathbb{R}$. Rješenja kvadratne jednadžbe $ax^2 + bx + 1 = 0$ su realna. Ako svako od tih rješenja umanjimo za 1, dobit ćemo rješenja kvadratne jednadžbe $bx^2 + x + a = 0$. Odredi sve takve realne brojeve $a, b$.

Prirodni broj zovemo ljepuškastim ako zbrojen s nekim svojim djeliteljem daje rezultat 360. Odredi zbroj svih ljepuškastih brojeva.

Svi vrhovi šesterokuta $ABCDEF$ leže na kružnici promjera $\overline{AD}$. Pravac $BF$ siječe pravce $AD$ i $CE$ redom u točkama $G$ i $H$. Ako je $\measuredangle FEH = 56°$, $\measuredangle DGB = 124°$ i $\measuredangle DEC = 34°$, odredi $\measuredangle CEB$.

Prirodni broj $\overline{a_1a_2\ldots a_m}$ (uz $a_1 \neq 0$) je koncizan ako je broj $\overline{a_ia_{i+1}\ldots a_{i+k-1}}$ djeljiv s $k$ za sve prirodne brojeve $i$, $k$ takve da je $1 \leqslant k \leqslant m$ i $1 \leqslant i \leqslant m - k + 1$.

Na primjer, broj $102$ je koncizan jer su brojevi $1$, $0$ i $2$ djeljivi s $1$, brojevi $10$ i $2 (= \overline{02})$ djeljivi s $2$ te broj $102$ djeljiv s $3$.

Dokaži da postoji najveći koncizni prirodni broj i odredi ga.