Grade 11 2016

Neka su $x$ i $y$ realni brojevi takvi da vrijedi $\sin x + \sin y = \frac{1}{3}$. Dokaži da vrijedi $$\sin(3x) + \sin(3y) \leq \frac{26}{27}.$$

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(a, b)$ takve da vrijedi $$a^3 - 3b = 15,$$ $$b^2 - a = 13.$$

Jednakokračni trokut $ABC$ ($|AB| = |AC|$) upisan je u kružnicu $k$. Neka je $D$ točka na osnovici $\overline{BC}$ tog trokuta, $k_1$ kružnica opisana trokutu $ABD$ i $E$ točka na kružnici $k_1$. Pretpostavimo da pravac $AE$ siječe kružnicu $k$ u točkama $A$ i $F$ tako da $F$ leži između $A$ i $E$. Ako se pravci $DE$ i $BF$ sijeku u točki $G$, dokaži da vrijedi $|EG| = |GF|$.

Neka je $k$ kružnica s promjerom $\overline{AB}$ i $t$ tangenta kružnice $k$ s diralištem u točki $A$. Neka je $P$ bilo koja točka na kružnici $k$ i neka je $N$ ortogonalna projekcija točke $P$ na pravac $t$. Odredi kut $\measuredangle ABP$ za koji izraz $|PB| + |PN|$ ima najveću moguću vrijednost.

Promatramo sve pravokutne ploče čija je polja moguće obojati tako da u svakom retku bude točno $14$ plavih polja, u svakom stupcu točno $10$ crvenih polja i da na cijeloj ploči budu točno $3$ polja koja nisu ni crvena ni plava.

Odredi dimenzije takve ploče koja ima najmanji ukupan broj polja.