Grade 11 2023

Odredi sva realna rješenja jednadžbe $$1225 \cdot 5^{x^2 - 3x} = 7^{x + 1}.$$

Ovisno o realnom parametru $p$ odredi broj rješenja jednadžbe $\cos 2x = p(\sin x + \cos x)$ na intervalu $[0, 2\pi]$.

Dan je trokut $ABC$ takav da je $\measuredangle ACB = 60^\circ$, $|AC| = \sqrt{3} - 1$ i $|BC| = 2$. Neka je $M$ polovište stranice $\overline{AB}$. Odredi mjeru kuta $\measuredangle ACM$.

Odredi sve racionalne brojeve $x$ za koje vrijedi $$x \cdot \lfloor x \rfloor \cdot (x - \lfloor x \rfloor) = 254.$$

Za racionalni broj $t$, $\lfloor t \rfloor$ najveći je cijeli broj koji nije veći od $t$. Na primjer, $\lfloor 3.14 \rfloor = 3$, $\lfloor -3.14 \rfloor = -4$.

Dana je ploča $n \times n$, obojana poput šahovske, pri čemu je gornje lijevo polje crne boje. Azra u svakom koraku bira šest polja ploče koja tvore $2 \times 3$ ili $3 \times 2$ pravokutnik i sadrže točno tri bijela polja, te ta tri polja zacrni. Za koje $n$ Azra može postići da sva polja budu crne boje?