Croatian Mathematical Olympiad 2019 Problem 2-4

Neka je $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ multiplikativna funkcija takva da je $f(4) = 4$ i vrijedi $$f(m^2 + n^2) = f(m^2) + f(n^2) \quad \text{za sve } m, n \in \mathbb{N}.$$

Dokaži da je $f(m^2) = m^2$ za sve $m \in \mathbb{N}$.

Za funkciju $f$ kažemo da je multiplikativna ako za svaki izbor relativno prostih prirodnih brojeva $m$ i $n$ vrijedi $f(mn) = f(m)f(n)$.