Croatian Mathematical Olympiad 2014 Problem M-4

Neka su $a$, $b$, $c$ različiti prirodni brojevi i neka su $r$, $s$, $t$ prirodni brojevi takvi da vrijedi: $$ab + 1 = r^2, \quad ac + 1 = s^2, \quad bc + 1 = t^2.$$

Dokaži da ne mogu sva tri razlomka $\dfrac{rs}{t}$, $\dfrac{rt}{s}$, $\dfrac{st}{r}$ biti prirodni brojevi.