Croatian Mathematical Olympiad 2013 Problem M-1

Neka su $a_1, a_2, \ldots, a_n$ pozitivni realni brojevi takvi da je $a_1 + a_2 + \cdots + a_n = 1$.

Dokaži nejednakost:

$$\frac{a_1^3}{a_1^2 + a_2 a_3} + \frac{a_2^3}{a_2^2 + a_3 a_4} + \cdots + \frac{a_{n-1}^3}{a_{n-1}^2 + a_n a_1} + \frac{a_n^3}{a_n^2 + a_1 a_2} \geqslant \frac{1}{2}.$$