Croatian Mathematical Olympiad 2012 Problem 2-4

Za prirodni broj $d$, neka je $f(d)$ najmanji prirodni broj koji ima točno $d$ pozitivnih djelitelja. (Npr. $f(1) = 1$, $f(5) = 16$, $f(6) = 12$.)

Dokaži da za svaki prirodni broj $k$ broj $f(2^{k-1})$ dijeli $f(2^k)$.