Grade 10 2025 Problem 6

Neka je trokut $ABC$ proizvoljni pravokutni trokut s pravim kutom pri vrhu C, katetama duljina $a$ i $b$ te hipotenuzom duljine $c$.

a) Dokažite da će u svakom pravokutnom trokutu zbroj duljina kateta umanjen za duljinu hipotenuze biti jednak duljini promjera tom trokutu upisane kružnice.

b) U kojem su omjeru duljine stranica pravokutnog trokuta ako se duljina polumjera tom trokutu opisane kružnice i duljina polumjera tom trokutu upisane kružnice odnose kao $5 : 2$?