Grade 12 2004 Problem 3

Nizovi realnih brojeva $(x_n)$, $(y_n)$, $(z_n)$, $n \in \mathbb{N}$, definirani su formulama $$x_{n+1} = \frac{2x_n}{x_n^2 - 1}, \quad y_{n+1} = \frac{2y_n}{y_n^2 - 1}, \quad z_{n+1} = \frac{2z_n}{z_n^2 - 1},$$

a početni članovi su $x_1 = 2$, $y_1 = 4$ i $z_1$ takav da vrijedi $x_1 y_1 z_1 = x_1 + y_1 + z_1$.

a) Provjerite da su za svaki $n \in \mathbb{N}$ zadovoljeni uvjeti: $x_n^2 \neq 1$, $y_n^2 \neq 1$, $z_n^2 \neq 1$.

b) Da li postoji $k \in \mathbb{N}$ takav da je $x_k + y_k + z_k = 0$?