Grade 11 1996 Problem 4

Neka su $\alpha$ i $\beta$ pozitivni iracionalni brojevi takvi da je $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 1$, te $A = \{[n\alpha] | n \in \mathbf{N}\}$ i $B = \{[n\beta] | n \in \mathbf{N}\}$. Dokažite da je tada $A \cup B = \mathbf{N}$ i $A \cap B = \emptyset$.

Naputak: Možete dokazati ekvivalentnu tvrdnju: Za funkciju $\pi : \mathbf{N} \longrightarrow \mathbf{N}$ defini-ranu sa $$\pi(m) = \operatorname{Card}\{k | k \in \mathbf{N}, k \leq m, k \in A\} + \operatorname{Card}\{k | k \in \mathbf{N}, k \leq m, k \in B\}$$ vrijedi $\pi(m) = m$, $\forall m \in \mathbf{N}$.

($[x]$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)