Grade 11 1995 Problem 2

(a) Služeći se poznatim formulama $a = 2R \sin \alpha$ i $s - a = r \cdot \tan \dfrac{\alpha}{2}$ u trokutu $ABC$ s polumjerima $R$ i $r$ opisane i upisane kružnice i poluopsegom $s$ i izražavajući $\sin \alpha$ i $\ctg \frac{\alpha}{2}$ pomoću $\cos \alpha$ pokažite da je broj $\cos \alpha$ rješenje jednadžbe $$4R^2x^3 - 4R(R + r)x^2 + (s^2 + r^2 - 4R^2)x + (2R + r)^2 - s^2 = 0.$$

(b) Izrazite brojeve $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma$ i $\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ pomoću duljina $R, r$ i $s$.

(c) Pokažite da je zbroj orijentiranih udaljenosti središta $O$ opisane kružnice trokuta $ABC$ od pravaca $BC, CA, AB$ jednaka $R + r$, ako se orijentirana udaljenost točke $O$ od npr. pravca $BC$ uzima kao pozitivna ili negativna već prema tome da li su točke $O$ i $A$ s iste ili s različitih strana tog pravca.

(d) Ako se konveksan tetivni $n$-terokut na bilo koji način podijeli na $n-2$ trokuta pomoću $n-3$ dijagonala, koje se ne sijeku unutar tog poligona, pokažite da je zbroj polumjera upisanih kružnica tih trokuta stalan bez obzira na podjelu na trokute.

(Napomena: Ovaj zadatak vrijedi $50$ bodova (ostali po $25$), a pri rješavanju pojedinog dijela ovog zadatka dopušteno je koristiti ranije dijelove makar i ne bili riješeni.)