Grade 12 2024 Problem 1

AlgebraRecurrencesSeq

Koristeći niz (an)n∈N(a_n)_{n \in \mathbb{N}} definirana su dva nova niza, (bn)n∈N(b_n)_{n \in \mathbb{N}} i (cn)n∈N(c_n)_{n \in \mathbb{N}} tako da za svaki prirodan broj nn vrijedi bn=an+1−∑i=1nai,cn=an+2−an+1.b_n = a_{n+1} - \sum_{i=1}^{n} a_i, \quad c_n = a_{n+2} - a_{n+1}.

Ako je niz (bn)n∈N(b_n)_{n \in \mathbb{N}} aritmetički, dokaži da je (cn)n∈N(c_n)_{n \in \mathbb{N}} geometrijski niz.