Croatian Mathematical Olympiad 2025 Problem 1-3

Niz prirodnih brojeva $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ u kojem je $a_1 > 1$ zadovoljava relaciju

$$a_{n+1} = a_n + p^n \quad \text{za } n \in \mathbb{N},$$

pri čemu je $p = 2$ ako je $a_n$ potencija broja $2$, a inače je $p$ najmanji neparan prosti djelitelj broja $a_n$. Dokaži da postoji beskonačno mnogo parova prirodnih brojeva $(m,n)$ uz $m \neq n$ takvih da $a_m$ dijeli $a_n$.