Croatian Mathematical Olympiad 2023 Problem 1-4

Za pozitivan racionalan broj $q$ kažemo da je sjajan ako za svaki pozitivan racionalan broj $x$ postoje cijeli broj $n \geqslant 0$ i cijeli brojevi $a_0, \ldots, a_n$ takvi da je

$$x = q^{a_0} \cdot (q + 1)^{a_1} \cdot \ldots \cdot (q + n)^{a_n}.$$

Odredi sve sjajne brojeve.