Croatian Mathematical Olympiad 2023 Problem 2-4

Neka je $x$ prirodan broj. Pretpostavimo da postoje dva relativno prosta prirodna broja $m$ i $n$ za koje su brojevi $x^3 + mx$ i $x^3 + nx$ kvadrati prirodnih brojeva. Dokaži da postoji beskonačan skup prirodnih brojeva $S$ takav da su svi članovi skupa $S$ u parovima relativno prosti, te je $x^3 + kx$ kvadrat prirodnog broja za svaki $k \in S$.