Croatian Mathematical Olympiad 2020 Problem I-1

Neka je $n \geq 3$ prirodni broj i neka je $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ strogo rastući niz realnih brojeva takav da je $\sum_{k=1}^n a_k = 2$. Neka je $M$ neki podskup skupa $\{1, 2, \ldots, n\}$ za koji je vrijednost izraza $\left|1 - \sum_{k \in M} a_k\right|$ najmanja moguća.

Dokaži da postoji strogo rastući niz realnih brojeva $(b_1, b_2, \ldots, b_n)$ takav da je $\sum_{k=1}^n b_k = 2$, za koji vrijedi $\sum_{k \in M} b_k = 1$.