Search

Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 3$ za koje umnožak prvih $n$ prirodnih brojeva dijeli umnožak svih zbrojeva međusobno različitih parova prostih brojeva koji nisu veći od $n$, tj. za koje vrijedi

$$n! \mid \prod_{\substack{p < q \leqslant n \\ p, q \text{ prosti}}} (p + q).$$

Odredi sve parove prirodnih brojeva $(m,n)$ takve da je $2n \leq m$ i

$$m! + n! \mid (m + n)!$$

Let $m$ and $n$ be arbitrary non-negative integers. Prove that $$\frac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!}$$ is an integer. $(0! = 1.)$

Find all pairs $(k, n)$ of positive integers such that $$k! = (2^n - 1)(2^n - 2)(2^n - 4) \cdots (2^n - 2^{n-1}).$$

Find all triples $(a, b, p)$ of positive integers with $p$ prime and

$$a^p = b! + p.$$

Find all pairs of positive integers $(a,b)$ such that $$a! + b! = a^b + b^a.$$

Odredi sve prirodne brojeve $m$ i $n$, $m < n$, takve da je razlika umnoška prvih $n$ prirodnih brojeva i umnoška prvih $m$ prirodnih brojeva broj oblika $600^k$ pri čemu je $k$ prirodan broj.

Nađite sva rješenja $k$, $l$, $m \in \mathbb{N}$ jednadžbe: $$k! l! = k! + l! + m!.$$ ($n!$ označava umnožak prirodnih brojeva od $1$ do $n$.)

Za različite prirodne brojeve $m$ i $n$ kažemo da su prijatelji ako postoje prirodni brojevi $a$ i $b$ koji nisu djeljivi sa 101 takvi da je $$\frac{(m!)^n}{(n!)^m} = \frac{a}{b}.$$

Postoji li prosti broj koji ima točno 12 prijatelja?

Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je umnožak prvih $n$ prirodnih brojeva djeljiv zbrojem prvih $n$ prirodnih brojeva.

Odredi sve prirodne brojeve $m$ i $n$ takve da je $2^{n!} = m^3 + 37$.

Neka $d(k)$ označava broj prirodnih djelitelja broja $k$. Odredi sve prirodne brojeve $n$ takve da je $$\sum_{k=1}^{n} d(k) = d(n!).$$

Odredi sve parove cijelih brojeva $(a, b)$ takve da je $b \geq 0$ i

$$a^2 + 2ab + b! = 131.$$

Odredi sve prirodne brojeve $m$ za koje je $m! + 8$ potencija nekog prostog broja.

Odredi sve brojeve $a, b \in \mathbb{N}_0$ i $n \in \mathbb{N}$ za koje vrijedi $$2^a + 3^b + 1 = n!.$$