Grade 9 1994

Nađite sva cjelobrojna rješenja jednadžbe $$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} - \frac{1}{mn^2} = \frac{3}{4}.$$

Neka su $a$ i $b$ duljine osnovica trapeza. Dokažite:

(a) Duljina dužine paralelne s osnovicama, koja raspolavlja površinu trapeza, jednaka je $\sqrt{\frac{a^2 + c^2}{2}}$ (kvadratna sredina).

(b) Duljina spojnice polovišta krakova jednaka je $\frac{a + c}{2}$ (aritmetička sredina).

(c) Duljina dužine paralelne osnovicama, koja dijeli trapez na dva međusobno slična trapeza, jednaka je $\sqrt{ac}$ (geometrijska sredina).

(d) Duljina dužine paralelne s osnovicama kroz sjecište dijagonala, kojoj su krajevi na krakovima, jednaka je $\frac{2}{\frac1a + \frac1c}$ (harmonijska sredina).

Riješite sustav jednadžbi $$\begin{aligned} 2x_1 - 5x_2 + 3x_3 &= 0 \\ 2x_2 - 5x_3 + 3x_4 &= 0 \\ &\vdots \\ 2x_{1993} - 5x_{1994} + 3x_1 &= 0 \\ 2x_{1994} - 5x_1 + 3x_2 &= 0. \end{aligned}$$

Pokažite da za svaka dva pozitivna broja $p$ i $q$ vrijedi nejednakost $$(p^2 + p + 1)(q^2 + q + 1) \geq 9pq.$$