Grade 9 1996

Dokažite da je izraz $$a^4 - 10a^2 + 9$$ djeljiv s $1920$ za svaki prosti broj $a > 5$.

Brojevi $a$, $b$, $c$, $d$ zadovoljavaju relaciju $a + b + c + d = 0$. Neka je $S_1 = ab + bc + cd$ i $S_2 = ac + ad + bd$. Pokažite da je $$5S_1 + 8S_2 \leq 0 \quad \text{i} \quad 8S_1 + 5S_2 \leq 0.$$

Zadan je konveksan peterokut $ABCDE$. Neka su $M$, $N$, $P$, $Q$ redom polovišta stranica $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{DE}$ te neka su $R$ i $S$ polovišta dužina $\overline{MP}$ i $\overline{QN}$. Pokažite da je $$|SR| = \frac{1}{4} |AE|.$$

Četiri kružnice polumjera $a$ sa središtima u vrhovima kvadrata stranice duljine $a$, dijele taj kvadrat na devet područja. Odredite površinu svakog od pojedinih područja ako je dana površina $Q$ kvadrata, površina $K$ kruga polumjera $a$ i površina $T$ jednakostraničnog trokuta duljine stranice $a$.