Grade 9 1997

Neka je $n$ prirodan broj. Nadite sva rješenja jednadžbe $$\left| \left| \dots \right| \right| | x - 1 | - 2 | - 3 | - \dots - (n - 1) | - n | = 0.$$

Zadani su realni brojevi $a < b < c < d$. Odredite sve mogućnosti izbora brojeva $p, q, r, s$ za koje je $\{a, b, c, d\} = \{p, q, r, s\}$, a vrijednost izraza $$(p - q)^{2} + (q - r)^{2} + (r - s)^{2} + (s - p)^{2}$$ je najmanja.

Zadane su kružnica i tetiva koja dijeli njezinu nutrinu na dva kružna odsječka. U njih su upisane kružnice $k_{1}$ i $k_{2}$ koje iznutra diraju kružnicu $k$, i danu tetivu diraju u istoj točki s raznih njezinih strana. Dokažite da je omjer polumjera kružnica $k_{1}$ i $k_{2}$ konstantan, tj. da ne ovisi o položaju zajedničkog dirališta s tetivom.

Na beskonačnom bijelom papiru podijeljenom na jednake kvadratiće neki od njih su obojeni crvenom bojom. U svakom $2 \times 3$ pravokutniku točno dva kvadratića su crvena. Promatrajte bilo koji $9 \times 11$ pravokutnik. Koliko u njemu ima crvenih kvadratića?