Grade 9 2001

Za koje cijele brojeve $x$ je $2x^2 - x - 36$ kvadrat prostog broja?

Sjecište dijagonala kvadrata $ABCD$ je točka $S$, dok je točka $P$ polovište stranice $\overline{AB}$. Neka je $M$ sjecište dužina $\overline{AC}$ i $\overline{PD}$, a $N$ sjecište dužina $\overline{BD}$ i $\overline{PC}$. Četverokutu $PMSN$ upisana je kružnica. Dokažite da je njen polumjer jednak $|MP| - |MS|$.

Dokažite da za pozitivne realne brojeve $a$ i $b$ vrijedi nejednakost $$\sqrt[3]{\frac{a}{b}} + \sqrt[3]{\frac{b}{a}} \leq \sqrt[3]{2(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)}.$$

Za koje se prirodne brojeve $n$ pravokutna ploča $9 \times n$ može prekriti pločicama oblika $$\square\llap{\raisebox{-1.5ex}{$\square$}}\kern-0.15em\square$$ tako da se one međusobno ne preklapaju?