Grade 9 2003

Dokažite da trokut čije su duljine stranica prosti brojevi ne može imati cjelobrojnu površinu.

Produkt pozitivnih realnih brojeva $x$, $y$ i $z$ jednak je $1$. Ako je $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq x + y + z,$$ dokažite da je $$\frac{1}{x^k} + \frac{1}{y^k} + \frac{1}{z^k} \geq x^k + y^k + z^k,$$ za svaki prirodan broj $k$.

U jednakokračnom trokutu duljina osnovice je $a$, duljina kraka $b$, duljina visine na osnovicu $v$, pri čemu vrijedi: $\dfrac{a}{2} + v \geq b\sqrt{2}$. Odredite kutove trokuta. Kolika je površina trokuta ako je $b = 8\sqrt{2}$?

Koliko ima djelitelja broja $30^{2003}$ koji nisu djelitelji broja $20^{2000}$?