Grade 9 2006

Odredi sve troznamenkaste brojeve $\overline{xyz}$ ($x$, $y$, $z$ su dekadske znamenke) koji su jednaki izrazu $x + y + z + xy + yz + zx + xyz$.

Neka su $a$, $b$, $c$ realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi $$a + \frac{1}{b} = b + \frac{1}{c} = c + \frac{1}{a}.$$ Dokaži da je $a + \frac{1}{b} = -abc$.

Iz jednog vrha šiljastokutnog trokuta povučena je visina, iz drugog težišnica, a iz trećeg simetrala kuta. Ta tri pravca ne prolaze istom točkom, već njihove točke presjeka čine vrhove novog trokuta. Dokaži da novi trokut ne može biti jednakostraničan.

U polja kvadrata $3 \times 3$ treba upisati prirodne brojeve, tako da u svakom retku i svakom stupcu produkt upisanih brojeva bude $270$. Na koliko je načina to moguće napraviti?