Grade 9 2007

Nadite realna rješenja sustava jednadžbi: $$x + y + z = 2$$ $$(x + y)(y + z) + (y + z)(z + x) + (z + x)(x + y) = 1$$ $$x^{2}(y + z) + y^{2}(z + x) + z^{2}(x + y) = -6$$

Na polupravcima $p$ i $q$ sa zajedničkim početkom $O$ dane su točke $A$ i $C$ (na $p$) te $B$ i $D$ (na $q$). Ako je pravac $CD$ paralelan s težišnicom trokuta $OAB$, dokažite da je pravac $AB$ paralelan s težišnicom trokuta $OCD$.

a) Dokažite da se ploča dimenzija $4 \times 4$ može obojiti u dvije boje tako da za svaki izbor dvaju redaka i dvaju stupaca vrijedi da četiri polja u presjecima tih redaka i stupaca nisu sva obojana istom bojom.

b) Dokažite da gore navedeno svojstvo ne vrijedi za ploču dimenzija $5 \times 5$.

Odredite najveći prirodni broj $n$ takav da $n^2 + 2007n$ bude kvadrat nekog prirodnog broja.