Grade 9 2008

Neka su $a, b, c$ proizvoljni realni brojevi. Dokaži da je barem jedan od brojeva

$$(a + b + c)^2 - 9ab, \quad (a + b + c)^2 - 9bc, \quad (a + b + c)^2 - 9ca$$

nenegativan.

Koliko ima peteroznamenkastih brojeva oblika $\overline{37abc}$ takvih da je svaki od brojeva $\overline{37abc}$, $\overline{37bca}$ i $\overline{37cab}$ djeljiv s $37$?

Neka je $OAB$ četvrtina kruga sa središtem $O$ polumjera $1$. Nad dužinama $\overline{OA}$ i $\overline{OB}$, kao promjerima, konstruirane su polukružnice s unutarnje strane dane četvrtine kruga. Izračunaj polumjer kružnice koja dodiruje te dvije polukružnice i luk $\widehat{AB}$.

Nađi sva realna rješenja jednadžbe

$$(16x^{200} + 1)(y^{200} + 1) = 16(xy)^{100}.$$

Nazovimo prirodan broj $n$ "sretan" ako mu je zbroj svih znamenaka višekratnik od $7$, i "supersretan" ako je "sretan" i niti jedan od brojeva

$$n + 1, n + 2, \ldots, n + 12$$

nije "sretan". Koji je najmanji "supersretan" prirodan broj?