Grade 9 2009

Odredi sve trojke uzastopnih neparnih prirodnih brojeva čiji je zbroj kvadrata jednak nekom četveroznamenkastom broju kojem su sve znamenke jednake.

Zadan je konveksan četverokut $ABCD$ koji nije paralelogram. Neka pravac koji prolazi kroz polovišta dijagonala četverokuta siječe stranice $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ redom u točkama $M$ i $N$. Dokaži da trokuti $ABN$ i $CDM$ imaju jednake površine.

Neka su $x$, $y$, $z$ pozitivni realni brojevi, takvi da je $xyz = 1$. Dokaži da vrijedi $$\frac{x^3 + y^3}{x^2 + xy + y^2} + \frac{y^3 + z^3}{y^2 + yz + z^2} + \frac{z^3 + x^3}{z^2 + zx + x^2} \geq 2.$$

Dan je pravilni deveterokut sa stranicom duljine $a$. Kolika je razlika duljina njegove najdulje i najkraće dijagonale?

Dva igrača, $A$ i $B$ igraju sljedeću igru: $A$ i $B$ zapisuju naizmjenično po jednu znamenku sve dok ne napišu šesteroznamenkasti broj, pri čemu se niti jedna znamenka ne smije ponoviti. Prva znamenka mora biti različita od $0$. Igrač $A$ igra prvi, a znamenke se pišu redom s lijeva na desno. Igrač $A$ pobjeđuje ako je napisani šesteroznamenkasti broj djeljiv s $2$, $3$ ili $5$, a u suprotnom pobjeđuje igrač $B$. Dokaži da igrač $A$ ima strategiju za pobjedu, tj. može pobijediti neovisno o igri igrača $B$.